1引言

共晶界麵形態穩定性是凝聚態物理學和材料科學的一個基礎課題[1−6].定向凝固過程中晶體形態的不穩定性可能會導致不同的微觀結構，最終極大地影響產品的物理和機械性能.Hele-Shaw生長室是觀察共晶定向凝固過程的典型實驗裝置，它是一個封存有樣品材料的十分扁平的容器.生長室設置了一個高溫區與一個低溫區，高溫區的溫度設為TH，低溫區的溫度為TC，材料的凝固溫度TM介於兩者之間:即TC。

固體材料本身並非各向同性介質，其晶格結構使固體體內的物理量以及表麵的物理參數依賴於取向，變為各向異性量.固體材料這些物理參量的各向異性特征對凝固過程動力學與界麵穩定性機理以至對界麵微結構圖案的形成與選擇造成重要的影響[14].王誌軍等[15，16]研究了各向異性表麵張力對定向凝固過程中初始平界麵穩定性的影響，發現各向異性表麵張力的非線性效應導致界麵傾斜生長.Chen等[17]研究了各向異性表麵張力對定向凝固過程中球晶生長的影響，發現在各向異性表麵張力作用下，球晶生長初始階段部分界麵首先向內移動，達到一定的熔化深度後向外移動.Xu[18]研究了各向異性表麵張力對定向凝固過程中枝晶生長的影響，發現當存在各向異性表麵張力時，枝晶係統具有兩種不同的整體不穩定性機理:震蕩不穩定性與低頻不穩定性.陳明文等[19]研究了各向異性表麵張力對定向凝固過程中深胞晶生長的影響，發現當各向異性表麵張力增大時，深胞晶界麵全長增大，根部低端的曲率半徑增大.本文應用多重變量展開法研究各向異性表麵張力條件下定向凝固共晶生長形態穩定性，揭示了各向異性表麵張力對共晶生長不穩定性區域大小的影響.

圖1共晶結構的示意圖

2定向凝固係統的數學模型

假設由α和β兩相組成的片層共晶以拉度V向液相穩定推進，共晶片層與固-液界麵垂直.選取固-液界麵處α相片層的中心為坐標原點，x軸與片層垂直，z軸與晶體生長方向平行，如圖1所示.共晶界麵用函數z=h(x，t)表示，它也是共晶生長解的一部分.

本文引用Xu等[12]的無量綱化尺度，並且假設主間距的一半ℓw遠小於溶質擴散長度ℓD=κD/V，即ℓw≪ℓD，其中κD為溶質擴散係數.選取ℓw為長度尺度，V為速度尺度，ℓw/V為時間尺度，∆H/(cPρL)為溫度尺度，Ce為濃度尺度，其中∆H是單位體積內固相潛熱，cP是比熱容，ρL是溶質密度，Ce是共晶濃度.無量綱溫度¯T=(T−Te)/[∆H/cPρL]，無量綱濃度¯C=(C−Ce)/Ce，無量綱無窮遠處濃度¯C∞=[(C∞)D−Ce]/Ce，其中Te是共晶溫度，(C∞)D是有量綱無窮遠處濃度.為了書寫簡潔起見，下文省略掉無量綱量頭上的符號“-”.各向異性表麵張力用四重對稱函數γ(θ)=γ0[1+γ4cos(4θ)][14]表示，其中γ0為各向同性表麵張力係數，γ4為各向異性表麵張力係數，θ為界麵法向量與z軸之間的夾角.共晶生長係統還包含以下無量綱量:Peclet數Pe=ℓw/ℓD;形態參數M=(−mCe)/[∆H/(cPρL)]，m是液相線係數;界麵穩定性參數Γ=ℓc/ℓw，ℓc是毛細長度，ℓc=γ0cPρLTe/(∆H)2;無量綱溫度梯度G=(G)Dℓw/[∆H/(cPρL)]，(G)D是與實驗裝置相關的有量綱溫度梯度;無量綱間距參數Wc=wc/ℓw，wc表示α相寬度的一半.

注意到γ0，γ4，m和分離係數κ都是分段常值函數，在α相和β相都有各自對應的常數值.用q來代表這類物理量，qα表示其在α相的函數值，qβ表示其在β相的函數值.由於溶質擴散長度ℓD遠小於熱擴散長度ℓT=κT/V，即ℓD≪ℓT，其中κT是熱擴散係數.界麵溫度可以近似表示為TL=TS∼G(z−z∗)，其中TL，TS分別是液相和固相溫度，z∗是與α相尖端位置有關的常數.對於典型的實驗材料，Peclet數Pe很小.以CBr4-C4Cl6[20，21]生長係統為例，Pe≈0.01，Γ≈2.5×10−5.為了做漸近分析，本文把Peclet數Pe作為基本的小參數，假設ε=Pe≪1且Γ=ε2¯Γ，¯Γ=O(1).

為考察共晶生長形態穩定性，利用共晶生長的定常解作為基態進行穩定性分析.在初始時刻t=0時對基態解做一小擾動，並將在t>0以後形成的非定常解分解成兩個部分:

其中{CB，hB}是係統的基態，{e C，˜h}是係統的擾動態.假設初始擾動態的範數共晶生長係統的定常解為[11]:

其中

θ−是α相的接觸角，θ+是β相的接觸角，這兩個接觸角與夾度θα，θβ以及傾斜角ψ之間滿足關係式θ−=θα−π/2−ψ，θ+=θβ−π/2+ψ，如圖2所示.

將係統方程以振幅遠小於1進行線性化處理，結合(1)式—(4)式，可以得到共晶生長係統的擾動態滿足以下控製方程和邊界條件:

1)在遠場區域，當z→∞時，

2)在側壁x=0和x=1上，

(b)反對稱(antisymmetric)模式(A-模式)

3)在界麵z=hB上，

(a)Gibbs-Thomson條件

(a)對稱(symmetric)模式(S-模式)

由三角誘導公式可知，

於是有

結合(9)式和(10)式，Gibbs-Thomson條件可以改寫為

(b)雜質質量守恒條件

3擾動態的多重變量漸近展開解

為了得到係統擾動態的漸近解，引入快變量[12]

按照多重變量(x，z，x+，z+，t+)，解可以寫成如下形式:

並對波數函數和特征值做如下展開: