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液膜斷裂點與電壓最大值在表麵張力測量中的對比研究（一）
來源：物理實驗 瀏覽 39 次 發布時間:2026-02-04
摘要
液膜拉起過程中，選擇采用力敏傳感器的電壓最大值還是斷裂時的電壓瞬間值來測定液體表麵張力係數一直被討論。本文設計了測定張力係數實驗，發現采用電壓瞬間值測定時，必須考慮斷裂點處液膜直徑的減小量；而采用電壓最大值測定時，液膜的自身重力對表麵張力係數影響非常大，計算公式需修正。通過對實驗數據、受力分析及斷裂點問題的討論，得出采用這2種方法的計算都可行的結論，但采用電壓最大值及頸縮後直徑進行計算，實驗結果更準確，且實驗操作性更強，測試更穩定。
1 理論分析
吊環從拉出液膜到液膜斷裂的過程中，力敏傳感器輸出電壓的數值經曆從小變大再變小的過程。圖1給出了該過程中吊環受力和液膜形狀變化的示意圖。吊環脫離液麵時將拉出一段液膜，此時吊環所受合外力為
F = m環g + m膜g + 2fAcosθ, (1)
式中，m膜g為液膜重力，m環g為吊環重力，fA為表麵張力，由於液膜內、外表麵都存在fA，所以有係數2；θ是液麵與金屬吊環的接觸角。
隨著液麵高度逐漸下降，吊環拉出的液膜（m膜g）變多，θ則減小，由式(1)可知，吊環拉力F變大，直至達到最大Fmax，此時θ=0[圖1(b)]，有繼續下降液麵高度，在重力和分子內聚力的作用下，液膜的體積和形狀將發生顯著變化，液膜剖麵從鞍麵型逐漸變成雙曲麵型[圖1(c)]。
Fmax = m環g + m膜g + 2fA, (2)
內、外2個雙曲麵的頂點處液膜將逐漸變薄，直至液膜斷裂[圖1(d)]。為了便於分析，將拉出的液膜質量分成m1和m2上下2部分。將吊環與上半部分液膜（m1）作為整體，該整體受到的表麵張力，作用點在液膜最薄處，表示為fB，如圖1(c)所示。很顯然，液膜變薄過程中，fB保持不變，作用力的方向也始終豎直向下，但是上半部分液膜質量m1逐漸減小，所以吊環拉力F逐漸減小，直至液膜斷裂前瞬間[圖1(d)]，有
F斷前 = m環g + m1′g + 2fB, (3)
此時的液膜m1′將停留在吊環上，如圖1(e)所示。所以拉斷後，吊環所受拉力為吊環重力與殘留液膜重力之和。
F斷後 = m環g + m1′g, (4)
很顯然，對比式(3)和(4)，液膜斷裂前、後的拉力之差為2fB，這正是液膜斷裂點的表麵張力，計算出的表麵張力係數是準確的。同樣，對比式(2)和(4)，吊環拉力之差為2fA + (m膜 - m1′)g，此差值中除了有表麵張力外，還包含一部分液膜重力，所以計算出的表麵張力係數數值將明顯偏大。因此文獻中普遍采用液膜斷裂點來計算表麵張力係數。
值得注意的是，圖1(c)中的fA表示液體與金屬環接觸處附近的表麵張力，fB表示液膜最薄處的表麵張力，兩者都是液體在空氣界麵處的表麵張力，所以fA = fB。采用整體法，將吊環與m膜整體作為研究對象，fA為該整體受到豎直向下的外力，而fB則為內力，無論其角度θ如何變化，與吊環拉力F無關。
由此，表麵張力f用電壓來表示，為
f = F斷前 - F斷後 = (U斷前 - U斷後) / K,
K為力敏傳感器靈敏度，通過定標來確定。吊環的內、外周長之和為π(d1 + d2)，d1和d2為吊環的內、外直徑。用d̄ = (d1 + d2)/2表示其平均直徑，所以表麵張力係數可表示為
α = (U斷前 - U斷後) / (2Kπd̄). (5)
2 實驗結果與討論
2.1 基於Umax與U斷前的表麵張力係數比較
圖2是WBM-1A拉脫法液體表麵張力實驗儀，用來測定純淨水的表麵張力係數。實驗時采用標準吊環的內、外徑分別為d1=33.10 mm，d2=34.96 mm，平均直徑為d̄=34.03 mm，平均周長為πd̄=106.88 mm。該標準環拉出的水膜高度與力敏傳感器電壓讀數之間的關係，如圖3所示。可以看出，隨著水膜高度的增加，吊環拉力逐漸增加到最大（圖中Umax表示），然後慢慢減小，直至水膜斷裂。圖中U斷前和U斷後分別表示水膜斷裂時和斷裂後的瞬時電壓值。吊環的受力變化情況與之前理論分析一致。
為了進行比較，自製了4個金屬銅導線吊環，其平均周長分別為126.1、105.5、78.2、57.4 mm，它們在拉脫過程中的情況與標準環相似，如圖4所示。由此得到每個吊環測量時的電壓最大值、斷裂瞬間值和拉斷後的電壓值，見表1。通過式(5)計算出水的表麵張力係數α2及其誤差。表1中也給出了采用電壓最大值時，即將式(5)中的U斷前替換為Umax，計算可得水的表麵張力係數α1及其誤差。測量前，定標得到力敏係數為K=5.302 V/N。實驗時室溫為18℃，查表得到表麵張力係數的標準值為73.05×10-3 N/m。
表１ 采用電壓最大值和水膜斷裂瞬間值計算得到的表麵張力係數及其誤差
| C/mm | Umax/V | U斷前/V | U斷後/V | α1/(10-3 N·m-1) | Eα1 | α2/(10-3 N·m-1) | Eα2 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 106.88 | 0.4405 | 0.4233 | 0.3417 | 87.2 | 19.4% | 72.0 | -1.4% |
| 126.1 | 0.5564 | 0.5306 | 0.4280 | 96.1 | 31.5% | 76.7 | 4.9% |
| 105.5 | 0.4998 | 0.4753 | 0.3948 | 93.9 | 28.5% | 71.9 | 1.5% |
| 78.2 | 0.4141 | 0.3922 | 0.3407 | 88.5 | 21.1% | 62.1 | -14.9% |
| 57.4 | 0.3539 | 0.3356 | 0.3032 | 83.3 | 14.0% | 53.3 | -27.0% |
對於標準環，可以發現，采用電壓最大值計算得到的表麵張力係數α1=87.2×10-3 N/m，與標準值相對偏差為19.4%。而采用水膜斷裂瞬間值計算得到的α2=72.0×10-3 N/m，相對偏差僅為-1.4%，兩者差別非常大。電壓最大值計算得到的水的表麵張力係數，比采用水膜斷裂瞬間值計算得到的數值大很多，即α1 > α2。對於其他不同周長的圓環也都有相同的結論。即如前麵理論分析所述，是由於(m膜 - m1′)g所致，這裏得到了實驗驗證。所以，正如多數文獻中提到的，采用斷裂點計算得到的α2更加接近標準值，誤差更小。
